摘要：主轴系统是机床产生振动的关键部件，分析主轴的动态特性可以了解机床的抗振能力和变形方式。分析中将主轴与支撑轴承简化成一个弹性系统，同时将主轴旋转产生的离心力当作结构的预应力，该方法为主轴类零件的动态分析提供了新的思路。
 
       关键词：主轴；轴承；预应力；立式机床；动态特征

       ０　引言
 
       本文以数控自动上下料立式机床主轴系统为研究对象，研究主轴结构设计对主轴系统的稳定性和抗振能力的影响。将主轴与支撑轴承简化成一个弹性系统，将主轴旋转产生的离心力当作预应力来进行分析，为主轴类零件分析提供了新的分析思路。
 
       有限元方法被广泛应用于机械工程类的分析计算中，本文对机床主轴进行有限元分析首先需要建立主轴的有限元模型，包括对主轴模型设定材料参数、划分网格和施加边界条件，其中边界条件可以考虑轴承的支撑因素，即在轴承支撑的位置添加具有刚度值的弹性约束条件。利用有限元方法我们可以对主轴进行模态分析与谐响应分析。
 
       １　、主轴模态分析
 
       当主轴转动时，质心会偏离轴线使轴产生方向周期性变化的惯性力，这一惯性力是激起轴的横向振动的主要原因。当主轴转速接近或通过自身临界转速时，其振动会显得异常强烈。模态分析可以确定机构的固有频率和振型，从而避免主轴工作时产生过大振动。
   
      １．１　模态分析理论基础
 
      由有限元理论得主轴的动力学方程如下：［Ｍ］｛（ｘ··）｝＋［Ｃ］｛ｘ（ｔ· ）｝＋［Ｋ］｛ｘ（ｔ）｝＝｛Ｆ（ｔ）｝．（１）其中：［Ｍ］、［Ｋ］、［Ｃ］分别为主轴的质量、刚度和阻尼矩阵；｛ｘ（ｔ）｝、｛Ｆ（ｔ）｝分别为节点的位移和外力向量。模态分析即是求解振动系统的固有频率和振型。当弹性体的动力基本方程中的外力向量｛Ｆ（ｔ）｝＝｛０｝时，略去阻尼，便可得到系统的自由振动方程：［Ｍ］｛（ｘ··）｝＋［Ｋ］｛ｘ（ｔ）｝＝０ ． （２）解得其特征方程为：［Ｋ］－ω２［Ｍ］＝０ ． （３）其中：ω 为系统的固有频率。
   
     １．２　主轴结构设计
   
     主轴作为分析研究的对象选择了两种设计结构，一种是长轴结构（见图１），另一种是短轴结构（见图２）。由图１可以看出，长轴结构设计中的主轴属于细长轴，长度为７３６ｍｍ。而第二种设计的空心短轴中轴长度显著减小到２８０ｍｍ，直径相对增大。可以看出这两种方案中主轴结构的形状和尺寸都不相同，通过有限元分析可计算出结构的模态参数，对比结果判断哪种结构更优。

　   图１　长轴结构图图

       图 ２　短轴结构图

    １．３　模态分析边界条件
   
     根据实际情况，主轴工作时要受到其他部件的限制，也就是要设置相应的约束条件。轴承作为支撑主轴的部件，它的支撑刚度对转子系统的精度、抗振能力起着决定性作用。轴承对主轴的支撑即可模拟为主轴与轴承配合部位施加弹性约束（如图３所示），同时在主轴上端有锁紧螺母和其他结构限制主轴的Ｘ、Ｙ、Ｚ向自由度。
 
     轴承支撑参数的识别有多种方法，如传递函数法、直接法等，本文利用已有经验公式计算角接触轴承的刚度。主轴轴承采用定位预紧方式，在已知预紧力的情况下，可近似求得角接触球轴承的径向刚度Ｋｒ：
 
     Ｋｒ＝１．７７２　３６　Ｋｍ（Ｚ２·Ｄｂ）１／３×（Ｆａ０）１／３×ｃｏｓ２α／ｓｉｎ１／３α ． （４）其中：Ｋｍ为材料系数；Ｚ 为滚动体个数；Ｄｂ
为滚动体直径，ｍｍ；α为接触角，（°）；Ｆａ０为预紧力，Ｎ。

     图３　等效弹簧位置示意图

  
     １．４　带预应力的模态分析结果
 
     按照已知的参数对主轴的有限元前处理进行设定，根据约束条件施加弹性约束，为了考虑转子旋转时离心应力的影响需要给主轴设定一个转速，即带预应力的结构模态分析。分析得到两种结构主轴的前３阶模态结果如表１、表２所示。
 

                           表１　空心短轴的固有频率和振型

                           表２　长轴的固有频率和振型

    
   
  
     由表１和表２可知，长轴的临界转速远小于空心短轴的临界转速。加工时的转速在３　０００ｒ／ｍｉｎ，空载转速为３　５００ｒ／ｍｉｎ，而长轴的低阶临界转速是３１８０ｒ／ｍｉｎ和３　１９２ｒ／ｍｉｎ，由此可知，长轴加工时可能会发生较大振动，而短轴的临界转速远大于实际转速，避免了产生共振的可能。
 
   
      ２　、主轴谐响应分析
  
     谐响应分析是研究物体受到一定频率范围内激振力时产生的变形和应力变化情况，研究对象主轴所受到的约束条件与模态分析相同，施加载荷为６０Ｎ·ｍ的转矩。分别以长轴和短轴前端一点进行位移变形的数据采集，采样间隔４Ｈｚ，在转矩载荷０Ｈｚ～８０Ｈｚ试验区间均匀得到２０个采样点。采样频率处的计算数据连接成如图４、图５所示的曲线，可以分析主轴在该频率区间受载荷下的变形情况。

                          图４　主轴Ｘ 向变形

                            图５　主轴Ｙ 向变形

      ３、　结论
       
      本文在模态分析过程中考虑了轴承的支撑刚度，并将主轴旋转产生的离心应力作为预应力，求解得出所设计主轴的低阶固有频率和振型。对比结果显示空心短轴的动力学特性比长轴的更好。本文还对其做了谐响应分析，结果表明在一定频率变化的正弦力作用下空心短轴结构的受力变形更小，这也与模态分析的结果相吻合。