在五轴机床的NC 验证中, 图形法验证显然无法满足五轴机床的复杂性, 这是由图形法验证方法的简单性和粗糙性决定的。以布尔运算为特征的实体碰撞和干涉检验方法, 随着实体复杂程度的提高, 布尔运算耗费时间和内存的特点也逐渐显现出来。加工件逐步成型技术可以很好地仿真材料的切除过程, 但是复杂实体裁剪线段的算法实现起来也是困难重重。离散点法矢量切割检验方法[ 6, 9] 用法矢量和刀具扫描体求交的方法进行NC 验证, 此方法被认为是进行NC 验证最精确的方法[10] , 对精度检验来说还是不可替代的方法[ 9] , 可以给出定量的精度信息。该方法的难点有两个: 一是刀具扫描体的构造和显示, 二是射线和曲面的求交算法。本文就是针对这一NC 验证算法, 对刀具扫描体构造和显示问题展开研究。

1　五轴刀具扫描体的运动特点

     现代数控机床加工复杂零件的过程一般如下: 首先根据零件图样及工艺要求等原始条件计算刀位轨迹, 产生刀位原文件, 然后经过后置处理把刀位原文件转换成指定数控机床能执行的数控程序, 驱动相应的执行机构进行加工。现代的数控加工过程, 在零件正式加工之前都要进行NC 验证。NC 验证主要关心的是刀具与零件的相对位置关系, 这种关系或者直接由NC 程序来约束, 或者由刀位文件进行约束。由于不同的数控系统具有不同的指令集, 由NC程序直接驱动的加工仿真需要后置处理过程的配合, 对后置处理的研究超出了本文的研究范围, 本文采用刀位文件来规定刀具与零件之间的相互关系。刀位文件具有一定的格式, 需要一个刀位解释器对其进行处理, 从中提取出用于加工仿真的刀位轨迹信息。刀位轨迹信息主要包括刀心位置和刀轴方向。五轴机床由于增加了二个摆动轴, 使得刀具的刀轴矢量在加工过程中是变化的, 如图1 所示。

2　刀具扫描体的描述

    刀具扫描体就是刀具在加工过程中沿着加工轨迹运动时所扫过的空间几何实体。有许多文献介绍过扫描体的生成[1, 2, 11, 12] , 它们的生成方法均建立在微分方程的基础上,用数学方法求得曲面包络面方程, 因而生成的算法比较复杂, 实现比较困难, 运算速度较慢。其中W. P. Wang 和K. K. Wang 的方法具有代表性[ 1, 2] 。

    本文由五轴刀具扫描体的运动特点出发, 把刀具扫描体看成是每两个刀位点之间扫描体的连接, 形成一个完整的扫描体, 由于在五轴数控加工中, 一般只采用直线插补,所以这种假设是符合经过后置处理后得到的NC 程序运行的实际情况的。由于在运动过程中刀轴矢量是变化的, 刀具的各个部位扫过的表面并不是平面, 球头刀的刀头部分扫过的包络面也不是标准的柱面。在两个连续的刀位点之间的包络面应该是一个扫描面, 这个扫描面是由二维的边界曲线或者直线沿着空间某个方向运动形成的, 在这个运动过程中同时伴随着回转动作, 所以形成的包络面形状颇为复杂。用常规的拼合方法难以满足造型需要。

    非均匀有理B 样条( NURBS ) 技术的出现, 使得无论对标准的解析形状( 如圆锥曲线、二次曲面、回转面等) 还是自由曲线、曲面都提供了统一的数学表示和统一的表示参数。这解决了实际应用中大量存在的各种类型曲面并存, 但是没有一个有效表示这些曲面形状的统一的数学方法的问题。本文以球头圆柱刀作为研究对象, 刀具在运动中, 球面部分扫过的曲面可以看作是一个个的直纹面衔接而成, 这种直纹面不能用一般的体素造型方法很好的表示, 利用非均匀有理B 样条( NU RBS) 方法可以解决这一问题。但是由于构造该直纹面的边界曲线是一个半圆, 而NURBS 曲线是由控制点来表达的自由曲线, 从它的表达式不能简单地推导半圆弧的表示形式。因此有必要首先研究用NURBS 曲线表示圆弧的方法, 然后才能得出直纹面的NURBS 表达式。

3　刀具扫描体构造新方法

    本节首先推导刀具的球头部分形成的扫描面, 该面是整个扫描体构造中最复杂的部分, 其它部分可以看成是此部分曲面的简化, 可以按照此部分曲面加以推导即可。刀头部分扫描面的边界曲线是半圆弧, 3 次NURBS曲线能简便地表示半圆弧, 方法如下:

    定理　若已知三次有理Bezier 曲线Ci( u) , 其控制顶点及其权分别为Ui , Ui+ 1, Ui+ 2, Ui+ 3; H i , H i+ 1, H i+ 2, H i+ 3。则它可以用三次NURBS 曲线

     由于刀具扫描体可以看成是在三维空间经过扫描所产生, 所以还必须求出扫描后产生的扫描面方程, 根据五轴机床刀位轨迹驱动的刀具扫描体的运动特点, 构造出的扫描面应该是NU RBS 曲面, 把每二个刀位点之间的运动看成是二维图形在空间沿直线运动和回转运动的结合。

     已知空间两点P 0, P1, 连接两点的直线可表示为

    根据上述NURBS 曲面定义以及半圆弧和直线的NU RBS 表示, 我们可以构造出球头刀具的球头部分( 球头也是刀具绕刀轴形成的包络面, 此点请引起注意) 在三维空间扫描形成的扫描体外表面公式。令

    上式为一条线段的NURBS 表示式。证明扫描面是直纹面。刀具扫描体的其余部分包括: 起始点的刀具原体, 它们是半球和圆柱体, 可以用B-rep 来表示。

3 仿真结果

    OpenGL 是一个工业标准的三维计算机图形软件接口, 它的GLU 库函数提供了一个NURBS接口, 利用上面推导出的结果, 结合CAD/ CAM 软件生成的刀位文件, 我们用VC 编写了一个五轴刀具扫描体的仿真软件, 由图3 中效果可以看出, 刀具扫描体的表面光滑, 各个离散的扫描体的衔接连续, 能够反应真实的刀具扫描体的包络面。