高速电主轴角接触球轴承刚度及其对电主轴临界转速的影响分析
2018-10-19 来源：浙江大学 机械工程学院 作者：黄伟迪，甘春标，杨世锡，徐立晖
摘要: 针对高速电主轴角接触球轴承高转速的特点，建立角接触球轴承的拟静力学模型，分析径向力与电主轴转速对轴承滚珠与轴承沟道的接触角、接触力的影响; 根据轴承与滚珠的受力平衡条件，研究角接触球轴承刚度受电主轴转速与预紧力的影响; 基于 Timoshenko 梁理论，建立轴承 － 主轴的有限元模型，分析不同预紧力下角接触球轴承对电主轴临界转速的影响。结果表明: 径向力与电主轴转速将改变轴承滚珠与轴承沟道的接触角与接触力，减小预紧力与升高转速会导致轴承的刚度降低，进而降低电主轴的临界转速; 需要综合考虑角接触球轴承离心力、内圈膨胀和预紧力等影响因素，才能有效保障电主轴的安全运行。
关键词: 角接触球轴承; 轴承刚度; 电主轴; 临界转速; 预紧力
高速数控机床是高端装备制造业的技术基础和发展方向之一，而电主轴单元是高速数控机床的核心部件，其轴承技术将直接影响整台机床的加工精度和生产效率。非接触球轴承由于其低摩擦、低能耗、可以承载轴向力与径向力等特性，在精密数控机床电主轴支撑部件中得到广泛应用。为此，众多学者对角接触球轴承开展了大量的研究工作。Harris提出了一类轴承沟道控制理论，建立了角接触球轴承的拟静力学模型。Li 等建立了轴承热 － 机耦合模型，研究了轴承布局方式对角接触球轴承以及轴承 － 转子系统的影响。Chen 等研究了轴承滚珠在轴承沟道中滚珠与沟道接触区域的运动状态。Jiang 等研究了陀螺力矩、轴承预紧力以及沟道波纹等对轴承力学特性的影响。Hernot通过测试轴承预紧力与轴承 － 转子模型变形量之间的关系，分析轴承预紧力与对角接触轴承非线性刚度和轴承寿命的影响。曹宏瑞等考虑了离心力、陀螺力矩和轴承软化效应，研究了主轴 － 轴承系统内部的高速效应。李松生等研究了高速电主轴轴承在运行中的动态刚度变化。然而，针对高速电主轴的角接触球轴承的特点，国内外的研究尚不够充分。随着电主轴转速的升高，轴承内圈将会产生很大内圈膨胀，这将引起轴承滚珠与轴承沟道接触应力与变形的变化，进而影响角接触球轴承刚度和滚珠运动状态; 并且在角接触球轴承安装的过程中，需要对轴承进行预紧，轴承预紧力的大小也将会影响轴承刚度，进而影响电主轴的临界转速。因此，对高速电主轴的角接触球轴承内部参数和轴承刚度变化的研究是非常有意义的。
本文基于角接触球轴承的拟静力学模型，应用 Newton-Ｒaphson 方法，对角接触球轴承模型的非线性方程组进行求解; 分析径向力和电主轴转速对轴承滚珠与轴承沟道的接触角、接触力影响; 根据轴承与滚珠的受力平衡条件，研究了电主轴转速与预紧力对角接触球轴承刚度的影响; 建立轴承 － 主轴的有限元模型，研究了高转速下角接触球轴承对电主轴临界转速的影响。
1、 高速电主轴角接触球轴承的拟静力学模型
角接触球轴承拟静力学模型是用于研究轴承在外载荷 和 惯 性 效 应 等 条 件 下 的 运 动 学 和 力 学 问 题，Jones最早建立了球轴承的拟静力学分析模型，并提出轴承沟道控制理论。De Mul 等改进并完善了角接触球轴承的拟静力学模型。本节考虑高转速下角接触球轴承滚珠受到离心力和内圈膨胀效应等因素，建立高速电主轴角接触球轴承的拟静力学模型。
1． 1 角接触球轴承滚珠运动学分析
图 1 角接触球轴承模型
当角接触球轴承运行时，由于轴承滚珠受到离心力的作用，轴承的内、外圈沟道的曲率中心与轴承滚珠的中心将不在同一条线上。在轴承安装过程中，外圈固定在轴承座上，故假设轴承外圈沟道的曲率中心固定不变，内圈沟道的曲率中心在外载荷的作用下产生位移，轴承滚珠受到离心力的作用，滚珠的中心也将发生变化。轴承内圈曲率中心、轴承滚珠中心受载前后的变化如图 2 所示。
图 2 轴承内圈曲率中心变化图
表 1 主轴单元尺寸
角接触球轴承运转过程中轴承主要承载径向载荷，由式( 7) 和( 13) 可以求得轴承滚珠与轴承沟道的接触角与接触力，图 5 给出了轴承在 500 N 预紧力、电主轴转速为 20 000 r/min 的情况下，轴承分别受到 0 N、100 N、150 N 和 200 N 径向力的作用下，不同位置处轴承滚珠与轴承内、外圈沟道接触角和接触力的变化情况。由图 5( a) 和图 5( b) 可知，轴承滚珠与内圈沟道的接触角在 0°位置为最小值，180°位置为最大值，轴承滚珠与外圈沟道的接触角变化相反，在 0°位置为最大值，180°位置为最小值; 在 90° 和 270° 位置处，轴承滚珠与轴承内、外圈沟道的接触角并不受径向力的影响，与径向力 Fr为 0 N 时滚珠与内、外圈沟道的接触角相同; 轴承的径向力越大，轴承滚珠与轴承内、外圈沟道的接触角变化值越大，并且接触角都成周期变化。
由图 5(c)和图 5(d) 可知，轴承滚珠与内、外圈沟道的接触力在0°和 180°位置分别达到最大值或最小值; 在 90°和 270°位置处，轴承滚珠与轴承内、外圈沟道的接触力不受径向力的影响，与径力 Fr为 0 N 时滚珠与内、外圈沟道的接触力相同，且轴承径向力越大，轴承滚珠与内、外圈沟道接触力的变化范围也越大，并且接触力成周期变化。
图 5 径向力对滚珠与轴承沟道的接触角及接触力的影响
此外，考虑电主轴转速将会引起滚珠离心力的增加，图 6 给出了角接触球轴承在 500 N 预紧力、200 N径向力的情况下，电主轴转速分别为 10 000 r/min、15 000 r / min、20 000 r / min 时，不同位置处轴承滚珠与轴承内、外圈沟道接触角和接触力的变化情况。在图6( a) 和图 6( b) 中看到，随着电主轴转速的升高，轴承滚珠与内圈接触角增大，与外圈接触角减小，并且接触角的变化范围增大; 由图 6( c) 和图 6( d) 中看到，随着电主轴转速的升高，轴承滚珠与内圈接触力减小，与外圈接触力增大。
承滚珠在 0°时接触力达到最大值，相比于电主轴转速为 10 000 r/min 时，电主轴转速达到15 000 r / min 和 20 000 r / min 轴承滚珠与内圈接触力分别下降了 2． 29% 和 4． 22% ，而轴承滚珠与外圈接触力分别增加了 7． 77% 和 19． 97% ，由此可见当电主轴转速升高，由于内圈膨胀与滚珠离心力等原因，轴承滚珠与外圈接触力急剧增加，由 1． 4 节可以看出，当滚珠与内外圈接触角与接触力发生变化时，轴承刚度会随之改变。
图 6 电主轴转速对滚珠与轴承沟道的接触角及接触力的影响
由式( 29) 、( 30) 可以求出角接触球轴承的刚度矩阵，图 7 给出了轴承在不同预紧力的情况下，电主轴转速对轴承刚度的影响。从图中可以看出，轴承的径向刚度和角刚度随着电主轴转速的变化表现出非线性改变，在转速增加时，轴承的刚度一开始变化较小，在一定转速内急剧下降，当转速较高时，轴承的刚度趋于稳定。根据不同预紧力下的轴承刚度变化曲线可以看出，当轴承的预紧力越大，初始刚度增加。在电主轴转 速升高至 22 000 r /min，预紧 力为100 N 时，轴 承 的 径 向 刚 度 和 角 刚 度 分 别 下 降 了75 ． 01 % 和 48 ． 21 % ; 预紧力为 300 N 时，轴承的径向刚度和角刚度分别下降了 65． 92% 和 47． 07% ; 预紧力为 500 N 时，轴承的径向刚度和角刚度分别下降了 53． 12% 和 37． 57% ; 由此可见轴承的预紧力越大，轴承刚度下降的趋势越慢，且在轴承转速较高的情况下才开始下降。
图 7 不同预紧力下轴承刚度随电主轴转速的变化
电主轴在高速运行过程中，角接触球轴承在预紧力的作用下，轴承的刚度随着电主轴转速的增加而降低，轴承刚度的下降将导致转子临界转速下降，图 8 给出了轴承在 500 N 预紧力的作用下，电主轴转速对电主轴临界转速的影响。当电主轴转速为 22 000 r/min 时，前三阶临界转速与静止时相比分别下降了 3． 61% ，3． 47% ，4． 01% 。图 9 给出了轴承在不同预紧力情况下电主轴的一阶临界转速变化。当轴承的预紧力为 100 N 的时候，转子的一阶临界转速在 4 000 r/min 开始下降; 当轴承的预紧 力 为 300 N 的 时 候，转 子 的 一 阶 临 界 转 速 在10 000 r / min时开始下降; 当轴承的预紧力为 500 N 的时候，转子的一阶临界转速在 12 000 r/min 时开始下降。
当电主轴转速达到 22 000 r/min 相比静止时，轴承预紧力为100 N 的时候，电主轴的一阶临界转速下降了9． 21% ; 而当轴承的预紧力增加到 300 N 时，电主轴的一阶临界转速下降了 5．57%; 而当轴承的预紧力增加到 500 N 时，电主轴的一阶临界转速下降了 3．61%。可见，提高轴承的预紧力可以延缓临界转速随电主轴转速下降的趋势。
图 8 电主轴前三阶临界转速随转速的变化
图 9 不同预紧力下一阶临界转速随转速的变化
4 、结 论
本文针对高速电主轴角接触球轴承高转速的特点，建立角接触球轴承的拟静力学模型，研究了角接触球轴承径向力和电主轴转速对轴承滚珠与轴承沟道的接触角、接触力的影响; 进而给出了轴承刚度随电主轴转速和预紧力影响的变化趋势; 最后建立轴承 － 主轴的有限元模型，研究了不同预紧力下角接触球轴承在高转速下对电主轴临界转速的影响，得到如下结论:( 1) 角接触球轴承的滚珠在运转过程中主要受轴承径向载荷，当轴承滚珠方位角为 90°和 270°时，将不受径向力改变的影响，当方位角为 0°和 180°时，接触角和接触力会达到最大或最小值，此时受径向力影响为最大。( 2) 随着电主轴转速增加，受离心力与内圈膨胀影响，轴承滚珠与内圈接触角增大，与外圈接触角减小，与内圈接触力减小，与外圈接触力增大，并且与外圈接触力的增幅较大。受转速影响，滚珠与轴承沟道的接触角与接触力呈非线性变化，进而将影响轴承刚度的变化。(3) 高速电主轴角接触球轴承的刚度会随着电主轴转速的升高而减小，会随着轴承预紧力的增加而增大，并且增加预紧力可减缓轴承刚度随转速升高而减小的趋势。(4) 角接触球轴承刚度会对电主轴的临界转速产生较大影响，随着电主轴转速升高，电主轴的前三阶临界转速受轴承刚度影响而降低，增加轴承预紧力，可以增加电主轴的临界转速，并且减缓临界转速下降的趋势。
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